2026年5月29日至30日，数学与统计学院数学基地班能力提升系列短课第五讲——“模论视角下的线性变换、综合提升与代数前沿应用”顺利举行。本次课程为该系列短课的最后一讲，继续邀请东南大学数学学院二级教授、东南大学丘成桐中心副主任王栓宏教授主讲，教学副院长李建波主持，2024级数学基地班全体学生参加学习。
在为期两天的课程中，王栓宏教授以主理想整环（PID）上有限生成模结构定理为核心，系统梳理了模论视角下的线性变换标准形理论，并结合高等代数、抽象代数中的核心内容，进行了综合提升训练与代数前沿应用展示，全面体现了代数学在现代数学与交叉学科中的基础性与引领性作用。
5月29日的课程中，王教授首先从挠模、自由模与模的三个基本同构定理出发，深入讲解了主理想整环上有限生成模的不变因子分解与初等因子分解，并通过整数环与多项式环上的实例，帮助同学们建立起从模论出发理解线性变换的新视角。随后，课程进入核心部分——用模论重新推导线性变换的有理标准形与若尔当标准形。王教授指出，域上的有限维线性空间在赋予线性变换后可自然视为多项式环上的挠模，进而通过模的结构定理，可直接导出友矩阵分块对角形式（有理标准形）与若尔当块分块对角形式（若尔当标准形），这是传统线性代数教材中少见的高观点统一处理方式。
5月30日的课程进入“综合提升与代数前沿应用”模块。王教授首先组织了高代与抽代综合证明题集训，内容涵盖群论、环论、域论、模论及综合竞赛题，特别强调了正规子群、循环群、商环张量积、分裂域、正规扩张、Frobenius自同构等核心概念的理解与运用。随后，课程拓展至代数在人工智能、几何学、编码理论与表示论中的前沿应用，包括：矩阵与张量代数在深度学习中的基础作用；等变神经网络与群作用的对称性建模；有限域与循环码在通信与后量子密码中的应用；以及李代数与量子群在粒子物理与拓扑量子计算中的模型构建。
最后，王教授以“从整数环到p-进域”为主线，讲解了p-进整数环的逆极限构造、p-进赋值与度量、完备化思想，以及Z_p-模的基本理论，引导同学们从代数结构的角度理解现代数论与表示论的交汇点。课程结尾，王教授总结了从高等代数到模论、再到前沿研究的逻辑链条，鼓励同学们在今后的学习中坚持“结构—分解—表示”的代数思维模式。
李建波在主持时表示，本系列短课旨在提升数学基地班学生的抽象思维与代数综合素养，王教授的精彩讲授为同学们打下了坚实的模论基础，也为后续学习与研究提供了高水平的理论指引。2024级数学基地班全体同学全程认真学习并积极参与课堂互动，课程取得了良好的教学效果。
本次课程内容翔实、逻辑清晰、视野开阔，既巩固了学生对核心代数理论的理解，又拓宽了他们对代数在现代数学与交叉学科中应用的认知边界。作为能力提升系列短课的最后一讲，本次课程也为该系列画上了一个圆满的句号。未来，数学与统计学院将继续围绕人才培养目标，组织开展更多高水平、高质量的学术提升活动。
(一审：马洋珍，二审：李建波，三审：周显洋）