为进一步推进数学基地班拔尖人才培养计划，持续深化学生代数理论素养与抽象思维能力，5月22日，我院成功举办数学基地班能力提升系列短课第四讲——《环、理想与模论入门》。本次课程继续邀请东南大学数学学院二级教授、东南大学丘成桐中心副主任王栓宏教授主讲，2024级数学基地班全体学生参加学习。
在前三讲系统讲授群论基础与高等代数公理化体系之后，本次课程聚焦抽象代数的另一核心支柱——环论与模论。王教授首先系统回顾了环的定义与基本性质，从整数环、多项式环到矩阵环，层层递进地阐释了环作为同时具备加法群与乘法半结构之代数对象的核心特征。他详细讲解了理想、商环以及环的三个同态基本定理，通过大量实例帮助学生理解理想作为“模掉”的对象如何刻画环的内部结构，并指出环同态基本定理是贯穿群、环、模三大代数结构的灵魂定理。
在环论的核心部分，王教授系统讲授了交换代数中最重要的三类整环——欧几里得环（ED）、主理想整环（PID）与唯一分解整环（UFD），通过严格的包含关系图式清晰地展示了这三类整环之间的层级结构。他指出整数环ℤ和域上一元多项式环F[x]是欧几里得环的典型例子，而多元多项式环F[x,y]虽为UFD却不再是PID，揭示了代数结构在维数提升时的本质变化。他还特别提醒学生，狄利克雷多项式环与狄利克雷级数环虽重要，却因存在零因子或不满足唯一分解性质，无法归入这三类特殊整环。
课程后半部分聚焦模论入门。王教授生动地阐释了模作为线性空间从“域”向“任意含幺环”推广的核心思想：域上的模恰为线性空间，而环上的模则展现出更为丰富复杂的结构。他系统讲解了模的定义、子模、商模、模同态以及模的三大同构定理，指出这些定理与群论、环论中的对应定理一脉相承，体现了整个抽象代数的统一性。王教授还特别强调了模论在现代数学中的枢纽地位——从线性代数中的Jordan标准型理论到群表示论，再到代数几何与数论中的广泛应用。
作为课程的亮点，王教授将抽象代数与数论、几何的前沿研究紧密连接，介绍了狄利克雷多项式环与狄利克雷级数环的结构特征，分析了黎曼ζ函数与狄利克雷L函数在这些环中的归属问题。他还在课程最后简要介绍了一个与卡拉比-丘流形相关的前沿猜想，将若尔当定理、群表示论与模论的思想融入其中，让学生初步领略了抽象代数在当代几何与数学物理中的深刻应用。
课堂上，2024级数学基地班全体学生认真听讲、积极思考，课堂气氛活跃。许多同学在课间及课后主动与王教授交流，围绕理想与商环的构造、模与线性空间的异同等问题展开深入讨论。同学们普遍反映，本次课程打通了从群论到环论再到模论的关键过渡，提升了对公理化代数体系的理解与运用能力，为后续学习交换代数、同调代数及现代数学多个分支建立了信心。
学院将继续依托高水平师资力量，持续推进基地班课程体系建设，助力学生在抽象代数与现代数学的学习道路上不断精进。
(一审：马洋珍，二审：李建波，三审：周显洋）